| LE-5エンジン 日本で自主開発されたH-1ロケット第二エンジン・LE-5エンジン。燃料は液体酸素、液体水素。推進力は10.5トン。(上野・国立科学博物館)  |
スペースシャトル搭載カメラ 1983.11.28.SEPAC（日本のスペースシャトル搭載実験）が実施されました。人工的にオーロラを作り出す実験が行われそれを撮影するために用いられたカメラ。(JAXAJAXA宇宙航空研究開発機構)  |
ケプラーの法則を学ぶ前に、楕円の性質について学んでおきましょう。
楕円は円とはまた違って「奥行きが深く面白い図形だな－」と思えたら万歳です。
実際に紙（画用紙・ケント紙）と鉛筆・凧糸・画びょうを用意して、楕円を描くのが楽しいです。
描いて「ほう、ナルホド」そう思うこと間違いありません。
ただ、画びょうを机に向かって差し込んでは机に傷がつきお母さんや先生に叱られます。紙（画用紙・ケント紙）の裏側から表に向かって画びょうを刺し、びょうの先端に凧糸を緩まないように結ぶと良いです。
図－１
図－１のひとみちゃんのように、凧糸が緩まないように鉛筆を動かしていくと楕円が描けます。
この時、鉛筆の先を楕円を描く際の「動点P」、２つの画びょうを通る直線を「長軸方向」、２つの画びょうの中間を通りかつ長軸方向と直角に交わる直線を「単軸方向」、「長軸方向」と「単軸方向」の直線の交点を「楕円の中心」といいます。
「長軸方向」の直線と「単軸方向」の直線は描かれた楕円によって切り取られます。
図－１では２倍のOAの長さが「長軸」、２倍のOBの長さが「短軸」になります。
図－２
図－１と図－２を良く照らし合わせて見てほしいんですが、
画びょうを押した場所が図－２の楕円の中心OからCだけ長軸方向にずれています。
図－２の緑の折れ線（X+Y）は図－１の凧糸にあたり、鉛筆の先は動点Pにあたります。
凧糸は伸び縮みしなく、楕円を描く時は緊張させて描くのですから、
X+Y＝一定・・・①式 となります。
次に動点PがA2の位置に来た時を考えます。
X＝a－c、また Y＝a＋c
①式より X+Y＝a－c＋a＋c＝2a・・・②式
図－３
図－１の楕円の描き方で、２つの画びょうの距離を様々にとって描くと楕円の形は様々になります。
すこし考えれば分かるように、２つの画びょうを近づければ楕円は円に近くなり、２つの画びょうが重なれば円になりますね。
離心率（e）は楕円の中心から焦点（焦点までの距離）がどれほどずれているか、
で定義されます。c＝０でe＝０、円となります。
図－３で動点PがB1に来たとすると、
X=Y=a、ｘ２＝ｙ２＝a２＝b２＋c２、∴c２＝a２－b２、c=√a２－b２、∴e＝c／a＝√a２－b２／a・・離心率を求める公式
図－４
楕円には焦点が二つあります（図－３）。そのうちの一方に太陽が位置しているとケプラーは述べました。
惑星の軌道の太陽からもっとも離れた一点を遠日（えんじつ）点、最も近い点を近日（きんじつ）点といいます。
遠日点距離＝遠日点～太陽、記号でrL、
近日点距離＝近日点～太陽、記号でrSとすると
rL＝a＋c、e=c/a （離心率の項参照） より rL＝a＋ea＝a(1+e) rS＝a－c、 rS＝a－ea＝a(1-e)
また大事なことは、e=c/aとの関連で rL＋rS＝2a （図－４をじっくり見てください）また、 rL－rS＝2c
重要な公式
問題演習に取り組みましょう
図－５
図－５は地球の軌道が円(大きい円)であるとして、最大離角（東方、西方）の位置にある水星を観測し、地球から水星の観測される方向を直線で現したものです。これだけでは水星は直線上のどこ位置するか決められません。
水星が最大離角であるとき、様々に観測日を変えて水星の観測される方向に直線を引くことによって、水星の軌道は「外堀を埋められる」ように決められていきます。（図－６：図－５）
図－６
図－５の外側の円（作図では半径8cm）は地球の軌道、多数の直線に囲まれて描かれた小さい楕円が水星の軌道です。図が不鮮明ですが時計の「1時の方向」が長軸方向で、3つの扇形の中心が集まっているところが太陽（楕円の焦点）、その下の黒い点が楕円の中心になります。
この作図から得られた水星の離心率eは0.19（理科年表によると0.2056）、平均距離aは0.35AU（同、換算値で0.387AU）となります。
結構正確な値が得られていると思いませんか？
図－５
水星の軌道内に三つの扇形が描かれています。これは次のケプラーの第二法則（後述）を検証しようとして作図したものです。
図－７
ケプラーの第二法則＝「面積速度一定の法則」？
「なに、それ？」「図－６の扇形saa'と扇形sbb'の面積が等しい－って言われても、図は悪くて そうは見えない！」そう言われるでしょう。では、
図－８
むかしむかし、惑星「ひとみ」がありました。近日点付近、遠日点付近でそれぞれ1か月公転（直線的に）し、その速度が1AU/1か月だったとします（図－７）。（1AU=1
astronomical unit=1天文単位=地球～太陽間の平均距離=1.5✕10８km）
そうすると、面積速度は近日点付近では1AU２／1か月。（1AU２ ＝ 青の正方形の面積）
同じように、遠日点付近では２AU２／1か月。（２AU２ ＝ 青の長方形の面積）
これでは同じ1か月という時間で惑星「ひとみ」と太陽が結ぶ線分の描く面積が１：２で等しくならなりませんね。
ではどうしたら等しくなるか？近日点付近での速度を1AU/1か月で一定にするなら、遠日点付近での速度を半分にすればよろしい－。
「近日点より2倍離れた遠日点では、1か月でbb'間は0.5AUしか進まない。速度が半分になる」これが面積速度一定の意味になります。
簡単に言えば「太陽に近くなると速く、太陽から遠くなると遅く公転する」－ということです。
図－９
センター試験受験関わるのは図－９にまつわる問題です。
ケプラーは「惑星と太陽を結ぶ線分が一定の時間に描く面積は一定である」ことを見いだしました。図－９に示されるように青色と桃色の扇形の面積は同じである－ということです。
ここで青色と桃色の扇形をそれぞれ青色と桃色の「三角形」に近似し、その面積について考えます。
青色の三角形の面積＝vL×rL×1/2
桃色の三角形の面積＝vS×rS×1/2
「惑星と太陽を結ぶ線分が一定の時間に描く面積は一定である」ので
青色の三角形の面積＝桃色の三角形の面積
vL・rL＝vS・rS 、vL/vS＝rS/rL ・・・公式
つまり
水星の軌道長半径（a）を0.39AU、平均公転速度を48km/s、近日点距離を0.31AUとする。近日点速度、遠日点速度それぞれを求めよ。
【解答】
まず問題文に示されたデータを図に書き表すことです。図を書くことによって解答への道筋が見えてきます。
① 近日点速度を求める
ケプラーの第二法則 より
48km/s✕0.39AU=0.31AU✕VS VS=60.49km/s－答え
② 遠日点速度を求める
rL=a＋a－rS＝（長半径+長半径－近日点距離）＝0.39+0.39-0.31＝0.47AU
48km/s✕0.39AU＝vL✕0.47AU VL＝39.83km/s－答え
ケプラーの第二法則 は、「惑星は太陽に近ければ速く、遠ければゆっくりと公転している」ということをいっています。
どうしてこのような関係になるかというと、「週末課題 No.2」やHP「No.25 海洋] ⑩潮汐で扱われた「太陽の引力」が惑星の位置によって異なるから－です。
そして一方では、円運動を行うと物体は外側に押しやられる力＝「遠心力」を受けることです。日常、遠心力を受けるような経験は、バス・電車に乗っている時などよくあることと思います。
図－１０
銀河電鉄の電車は左回り（反時計回り）のカーブを通過中。電車内のつり革も、乗客も外側に向かう遠心力を受けています。
車体も同じ外側へ向かう遠心力をうけるので、電車は外側に飛び出て脱線する恐れがあります。
それを防ぐために、カーブ付近のレールには高低差を付けてあります。外側のレールは内側より少し高くし、通過する車体を内向きに傾斜させること（カント）によって車輌に加わる重力の分力を内側に向かわせます。そして遠心力に釣り合わせ、電車が外に飛び出さないような設計になっています。
遠心力の大きさは、通過する電車（円運動を行う物体）の速度の二乗に比例するので、設計されたスピード以上で走れば釣り合いを越えてしまい、電車はレールに「乗って」カーブを曲がりきれなくななります。
ある程度スピードを出して走ることのできる道路のカーブもよく見ると、電車のレールと同じように、高低差（カント）がつけられています。制限速度を守って走らなければならないのは言うまでもないことで、「運転技術に長けているから」とスピードを出すのは事故の元です。
では物体（惑星）が円（楕円）運動をし続けると、物体（惑星）は遠心力を受け続け、あたかも「渦巻き」のように末広がりな軌跡を描くことになるのでしょうか？
というとそうはならなく、太陽の引力と遠心力が釣り合い、物体（惑星）は一定の軌道を描きます。
図－１１
太陽の質量をm太、惑星の質量をm惑、遠日点距離をr遠、近日点距離をr近、万有引力定数をG、遠日点速度をV遠、近日点速度をV近、遠日点における惑星への引力をF遠引、遠日点における惑星に働く遠心力をF遠遠、近日点における 惑星への引力をF近引、近日点における惑星に働く遠心力をF近遠とすると、 遠日点における惑星に働く力は、遠心力と太陽の引力で、
遠心力と太陽の引力が釣り合っているので、F遠遠＝F遠引、
同様に近日点において、
F近遠＝F近引
v遠は、G・m太（一定の値）を r遠（ r遠 ＞ r近 ）で割った平方根。故に v遠 ＜ v近 になります。
簡単に言えば、「近日点では太陽に近く引力が大きいため、公転速度を速くして遠心力を大きくしなければならない惑星の事情がある」と思えばいいでしょうか・・・。
惑星の公転の様子 （葛飾区「郷土と天文の博物館」にて撮影）
